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  Mathematik - Funktionen 5



Bei Funktionen mit einem Knick, kann man natürlich im Knickpunkt keine eindeutige Tangente anlegen. Da die Ableitung einer Funktion wieder eine Funktion ist, die man z.B. zeichnerisch darstellen könnte, gibt es für die oben gezeichnete Funktion keine Ableitung. Gibt es eine, kann dann eine weitere Ableitung als f''(x) gebildet werden.

Zurück zu der Rechenregel bei einer Ableitung. Vielleicht ist es Ihnen auch schon aufgefallen. So entsteht aus


f(x) = x2

f'(x) = 2


Aus dem Exponenten wird der Multiplikator vor dem x und sie selbst um 1 verringert. Egal welche Konstante (also ohne x2 oder x) dahinter hängt, die verschwindet. Deshalb müsste dann aus


f(x) = x4

f'(x) = 4 x3


werden. Oder aus


f(x) = x5 + 13

f'(x) = 5 x4


Sie haben als weitere Funktion schon den Sinus bzw. Cosinus kennengelernt. Wie ist denn dessen erste Ableitung? Wir verraten das Ergebnis vorher, nämlich


f(x) = sin x

f'(x) = cosin x



Die Sinuskurve beginnt bei f(x) = 0 die des Cosinus bei 1. Dann hat der Sinus im Nullpunkt die Steigung 1. Im obersten Punkt der Sinuskurve wird die Steigung dann Null, was der Cosinus ebenfalls exakt abbildet. Desgleichen im Punkt π mit der Steigung -1.

Der Cosinus gibt also für jeden x-Wert exakt die Steigung der Sinuskurve wieder. Jetzt bleibt nur noch die Frage nach der Ableitung für den Cosinus. Hier mal wieder diese und noch weitere Lösungen:


f(x) = cosin x

f'(x) = - sin x


f(x) = - sin x

f'(x) = - cosin x


f(x) = - cosin x

f'(x) = sin x


Oder hier noch verkürzt:

f(x) = sin x

f'(x) = cosin x

f''(x) = - sin x

f'''(x) = - cosin x

f(4)(x) = sin x


Und wieder zurück zu einem unserer Ursprungsbeispiele:

f(x) = x3

f'(x) = 3 x2

f''(x) = 3 · 2x

f'''(x) = 6

f(4)(x) = 0


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